$\frac{2x-10}{x^3+1}+\frac{4}{x+1}=\frac{5x-1}{x^2-x+1}$
$\frac{2x-10}{(x+1)(x^2-x+1)}+\frac{4}{x+1}=\frac{5x-1}{x^2-x+1}$
x + 1 ≠ 0
x ≠ −1
и
$x^2-x+1\ne 0$
$D=b^2-4ac=(-1{)}^2-4\ast 1\ast 1=1-4=-3<0$ − нет корней.
$\frac{2x-10}{(x+1)(x^2-x+1)}+\frac{4}{x+1}-\frac{5x-1}{x^2-x+1}=0$ | * $(x+1)(x^2-x+1)$
$2x-10+4(x^2-x+1)-(5x-1)(x+1)=0$
$2x-10+4x^2-4x+4-(5x^2-x+5x-1)=0$
$4x^2-2x-6-5x^2-4x+1=0$
$-x^2-6x-5=0$ | * (−1)
$x^2+6x+5=0$
$D=b^2-4ac=6^2-4\ast 1\ast 5=36-20=16>0$
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-6+\sqrt{16}}{2\ast 1}=\frac{-6+4}{2}=\frac{-2}{2}=-1$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ −1.
$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-6-\sqrt{16}}{2\ast 1}=\frac{-6-4}{2}=\frac{-10}{2}=-5$
Ответ: −5

$\frac{6}{x^2-4x+3}+\frac{5-2x}{x-1}=\frac{3}{x-3}$
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
и
x − 3 ≠ 0
x ≠ 3
и
$x^2-4x+3\ne 0$
$D=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\ast 1\ast 3=16-12=4>0$
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4+\sqrt{4}}{2\ast 1}=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}\ne 3$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4-\sqrt{4}}{2\ast 1}=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}\ne 1$
$x^2-4x+3=(x-3)(x-1)$
$\frac{6}{(x-3)(x-1)}+\frac{5-2x}{x-1}-\frac{3}{x-3}=0$ | * (x − 3)(x − 1)
$6+(5-2x)(x-3)-3(x-1)=0$
$6+5x-2x^2-15+6x-3x+3=0$
$-2x^2+8x-6=0$ | : (−2)
$x^2-4x+3=0$
$D=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\ast 1\ast 3=16-12=4>0$
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4+\sqrt{4}}{2\ast 1}=\frac{4+2}{2}=\frac{6}{2}=3$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ 3.
$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4-\sqrt{4}}{2\ast 1}=\frac{4-2}{2}=\frac{2}{2}=1$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ 1.
Ответ: нет корней

$\frac{4x-6}{x+2}-\frac{x}{x+1}=\frac{14}{x^2+3x+2}$
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2
и
x + 1 ≠ 0
x ≠ −1
и
$x^2+3x+2\ne 0$
$D=b^2-4ac=3^2-4\ast 1\ast 2=9-8=1>0$
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-3+\sqrt{1}}{2\ast 1}=\frac{-3+1}{2}=\frac{-2}{2}\ne -1$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-3-\sqrt{1}}{2\ast 1}=\frac{-3-1}{2}=\frac{-4}{2}\ne -2$
$x^2+3x+2=(x-(-1))(x-(-2))=(x+1)(x+2)$
$\frac{4x-6}{x+2}-\frac{x}{x+1}-\frac{14}{(x+1)(x+2)}=0$ | * (x + 1)(x + 2)
$(4x-6)(x+1)-x(x+2)-14=0$
$4x^2-6x+4x-6-x^2-2x-14=0$
$3x^2-4x-20=0$
$D=b^2-4ac=(-4{)}^2-4\ast 3\ast (-20)=16+240=256>0$
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{4+\sqrt{256}}{2\ast 3}=\frac{4+16}{6}=\frac{20}{6}=\frac{10}{3}=3\frac{1}{3}$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{4-\sqrt{256}}{2\ast 3}=\frac{4-16}{6}=\frac{-12}{6}=-4$
Ответ: −4 и $3\frac{1}{3}$

$\frac{x}{x^2-4}-\frac{3x-1}{x^2+x-6}=\frac{2}{x^2+5x+6}$
$x^2-4\ne 0$
(x − 2)(x + 2) ≠ 0
x − 2 ≠ 0
x ≠ 2
и
x + 2 ≠ 0
x ≠ −2
и
$x^2+x-6\ne 0$
$D=b^2-4ac=1^2-4\ast 1\ast (-6)=1+24=25>0$
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-1+\sqrt{25}}{2\ast 1}=\frac{-1+5}{2}=\frac{4}{2}\ne 2$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-1-\sqrt{25}}{2\ast 1}=\frac{-1-5}{2}=\frac{-6}{2}\ne -3$
$x^2+x-6=(x-2)(x-(-3))=(x-2)(x+3)$
$x^2+5x+6\ne 0$
$D=b^2-4ac=5^2-4\ast 1\ast 6=25-24=1>0$
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-5+\sqrt{1}}{2\ast 1}=\frac{-5+1}{2}=\frac{-4}{2}\ne -2$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-5-\sqrt{1}}{2\ast 1}=\frac{-5-1}{2}=\frac{-6}{2}\ne -3$
$x^2+5x+6=(x-(-2))(x-(-3))=(x+2)(x+3)$
$\frac{x}{(x-2)(x+2)}-\frac{3x-1}{(x-2)(x+3)}-\frac{2}{(x+2)(x+3)}=0$ | * (x − 2)(x + 2)(x + 3)
x(x + 3) − (3x − 1)(x + 2) − 2(x − 2) = 0
$x^2+3x-(3x^2-x+6x-2)-2x+4=0$
$x^2+3x-3x^2+x-6x+2-2x+4=0$
$-2x^2-4x+6=0$ | : (−2)
$x^2+2x-3=0$
$D=b^2-4ac=2^2-4\ast 1\ast (-3)=4+12=16>0$
$x_1=\frac{-b+\sqrt{D}}{2a}=\frac{-2+\sqrt{16}}{2\ast 1}=\frac{-2+4}{2}=\frac{2}{2}=1$
$x_2=\frac{-b-\sqrt{D}}{2a}=\frac{-2-\sqrt{16}}{2\ast 1}=\frac{-2-4}{2}=\frac{-6}{2}=-3$ − не удовлетворяет условию, так как x ≠ −3.
Ответ: 1