$\frac{-x^2}{x^2+5}$
Рассмотрим числитель:
$-x^2<0$ − число отрицательное, так как $x^2>0$ − число положительное, так как является квадратом числа. Либо $-x^2=0$, при x = 0.
Найдем при каком значении x числитель равен 0:
$-x^2=0$
$x^2=0$
x = 0
Рассмотрим знаменатель:
$x^2+5$ − число положительное, так как $x^2>0$ − число положительное и 5 − число положительное. А сумма двух положительных чисел есть число положительное.
Следовательно:
$\frac{-x^2}{x^2+5}\le 0$ − число неположительное:
$\frac{-x^2}{x^2+5}=0$ при x = 0
и
$\frac{-x^2}{x^2+5}<0$ при x ≠ 0

$\frac{x^2+4x+4}{x^2-2x+1}$
Рассмотрим числитель:
$x^2+4x+4=(x+2{)}^2>0$ − число положительное, так как квадрат любого числа есть число положительное.
Найдем при каком значении x числитель равен 0:
$(x+2{)}^2=0$
x + 2 = 0
x = −2
Рассмотрим знаменатель:
$x^2-2x+1=(x-1{)}^2>0$ − число положительное, так как квадрат любого числа есть число положительное.
Знаменатель не может быть равен 0, тогда:
$(x-1{)}^2\ne 0$
x − 1 ≠ 0
x ≠ 1
Следовательно:
$\frac{x^2+4x+4}{x^2-2x+1}\ge 0$ − число неотрицательное:
$\frac{x^2+4x+4}{x^2-2x+1}=0$ при x = −2
и
$\frac{x^2+4x+4}{x^2-2x+1}>0$ при x ≠ −2 и x ≠ 1