1) Докажите, что:
а)

\frac{x^{16} - y^{16}}{x - y} = (x + y) (x^{2} + y^{2}) (x^{4} + y^{4}) (x^{8} + y^{8})

;
б)

\frac{x^{64} - y^{64}}{x - y} = (x + y) (x^{2} + y^{2}) . . . (x^{32} + y^{32})

.
2) Что вы заметили? Можно ли сократить дробь

\frac{x^{8} - y^{8}}{x - y}

\frac{x^{10} - y^{10}}{x - y}

?
3) Сократите дробь

\frac{{x^{2}}^{10} - {y^{2}}^{10}}{x - y}

reshalka.com

ГДЗ учебник по алгебре 7 класс Дорофеев. 8.5 Разложение на множители с применением нескольких способов. Номер №899

а)

\frac{x^{16} - y^{16}}{x - y} = \frac{(x^{8} - y^{8}) (x^{8} + y^{8})}{x - y} = \frac{(x^{4} - y^{4}) (x^{4} + y^{4}) (x^{8} + y^{8})}{x - y} = \frac{(x^{2} - y^{2}) (x^{2} + y^{2}) (x^{4} + y^{4}) (x^{8} + y^{8})}{x - y} = (x + y) (x^{2} + y^{2}) (x^{4} + y^{4}) (x^{8} + y^{8})

утверждение доказано
б)

\frac{x^{64} - y^{64}}{x - y} = \frac{(x^{32} - y^{32}) (x^{32} + y^{32})}{x - y} = \frac{(x^{16} - y^{16}) (x^{16} + y^{16}) (x^{32} + y^{32})}{x - y} = \frac{(x^{8} - y^{8}) (x^{8} + y^{8}) (x^{16} + y^{16}) (x^{32} + y^{32})}{x - y} = \frac{(x^{4} - y^{4}) (x^{4} + y^{4}) (x^{8} + y^{8}) (x^{16} + y^{16}) (x^{32} + y^{32})}{x - y} = \frac{(x^{2} - y^{2}) (x^{2} + y^{2}) (x^{4} + y^{4}) (x^{8} + y^{8}) (x^{16} + y^{16}) (x^{32} + y^{32})}{x - y} = \frac{(x - y) (x + y) (x^{2} + y^{2}) (x^{4} + y^{4}) (x^{8} + y^{8}) (x^{16} + y^{16}) (x^{32} + y^{32})}{x - y} = (x + y) (x^{2} + y^{2}) (x^{4} + y^{4}) (x^{8} + y^{8}) (x^{16} + y^{16}) (x^{32} + y^{32})

утверждение доказано

Можно заметить, что получилась закономерность.

\frac{x^{8} - y^{8}}{x - y} = (x + y) (x^{2} + y^{2}) (x^{4} + y^{4})

;

\frac{x^{10} - y^{10}}{x - y}

− сократить нельзя, так как число 10 не является степенью числа 2.

\frac{{x^{2}}^{10} - {y^{2}}^{10}}{x - y} = (x + y) (x^{2} + y^{2}) (x^{4} + y^{4}) * . . . * ({x^{2}}^{9} + {y^{2}}^{9})

ГДЗ Алгебра 7 класс Дорофеев, Суворова, Бунимович